Enigma delle noci di cocco

Una decina di anni fa mi hanno proposto questo indovinello:

Tempo fa cinque marinai naufragarono su un'isola. Passarono tutto il giorno a raccogliere noci di cocco, e andarono a dormire. Nella notte uno di loro si alzò e, non fidandosi troppo degli altri, pensò di prendere subito quanto gli spettava. Una scimma curiosa si era avvicinata, e il marinaio le gettò una noce. Le noci rimaste vennero divise in cinque mucchi uguali, senza che avanzasse nulla. Il marinaio prese la sua parte, un quinto giusto, rifece un gran mucchio e tornò a dormire. Gli altri quattro marinai fecero esattamente la stessa cosa, uno dopo l'altro, senza accorgersi di nulla. E ogni volta arrivò la scimmia, cui venne data una noce, proprio come nel primo caso.

Arrivato il mattino i cinque si alzarono e, con incredibile faccia tosta, divisero il mucchio rimasto in cinque parti uguali, ovviamente dopo avere lanciato una noce all'immancabile scimmia.

Domanda: quante erano le noci di cocco (il numero minimo, perché il problema ha infinite soluzioni)?

L'enigma è piuttosto famoso, la soluzione canonica consiste nello scrivere un sistema di 6 equazioni lineari e poi ridurlo attraverso sostituzioni ad una singola equazione diofantea, questa:

1024x - 15625y = 11529

Esiste un'algoritmo per risolverla in maniera iterativa (se vi interessa http://share.dschola.it/helpmat/Divertimenti/divertiamoci1.html ), la leggenda vuole che Paul Adrien Maurice Dirac, il padre dell'antimateria, abbia trovato una soluzione immediata impiegando un numero negativo.

All'epoca avevo trovato una soluzione alternativa e molto più semplice, ho cercato un po' in rete e tuttora non ho trovato nulla a riguardo, quindi ho deciso di pubblicarla qui.

Si può trovare la soluzione minima semplicemente utilizzando le quattro operazioni (tre per essere precisi, la somma non mi serve), basta scrivere tutto in base 5 anziché in base 10. Le tre operazioni sono: diamo una noce alla scimmia, dividiamo per 5 e poi rimettiamo le altre noci al loro posto.

444441 - 1 => 444440 : "5" => 44444*4 = 344441

Notate che ho diviso per "5", ma avrei dovuto scrivere 10. Infatti le cifre vanno solo dallo 0 al 4. Ho lasciato 5 per rendere più chiaro il ragionamento. Al secondo passaggio otteniamo:

344441 - 1 => 344440 : "5" => 34444*4 = 304441

Come potete notare le ultime due cifre sono ancora 41, quindi possiamo iterare ancora. Non voglio ammorbarvi con tutti i calcoli dei successivi 4 passaggi.

Per trasformare la soluzione in base 10 basta eseguire il seguente calcolo:

4*5^5 + 4*5^4 + 4*5^3 + 4*5^2 + 4*5 + 1 = 15621

Con questa notazione è anche facile notare che tutte le possibili soluzioni sommando k*5^(5+j) con k,j > 0 ed interi.

Siccome l'appetito vien mangiando mi sono chiesto per quali numeri è possibile avere una soluzione del genere e con mia sorpresa la risposta è stata tutti!

Infatti per funzionare devo soddisfare questa condizione:

(k-1)*(k-1) = k*(k-2) + 1

Sviluppando si ottiene:

k^2 - 2k + 1 = k^2 -2k +1

Soddisfatta per qualunque k.

C'era una variante dell'indovinello che finiva senza noce di cocco per la scimmia all'ultimo passaggio. Anche quello si può risolvere utilizzando questo metodo. Se vi volete divertire, fate pure.